Question

在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
（1）已知动点P为圆O：x²+y²=r²外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若

PA

•

PB

=0，求动点P的轨迹方程；
（2）若动点Q为椭圆M：

x2

9

+

y2

4

=1外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若

QC

•

QD

=0，求出动点Q的轨迹方程；
（3）在（2）问中若椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,类比推理

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由切线的性质及

PA

•

PB

=0可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，进而可得动点P的轨迹方程；
（2）设两切线为l₁，l₂，分当l₁与x轴不垂直且不平行时，和当l₁与x轴垂直或平行时两种情况，结合

QC

•

QD

=0，可得动点Q的轨迹方程；
（3）类比（2）的求解过程，可得动点Q的轨迹方程．

解答： 解：（1）由切线的性质及

PA

•

PB

=0可知，四边形OAPB为正方形，
所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，且|OP|=

2

|OA|=

2

r，
进而动点P的轨迹方程为x²+y²=2r²…（3分）
（2）设两切线为l₁，l₂，
①当l₁与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为Q（x₀，y₀）则x₀≠±3，
设l₁的斜率为k，则k≠0，l₂的斜率为-

1

k

，
l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀），联立

x2

9

+

y2

4

=1，
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0，…（5分）
因为直线与椭圆相切，所以△=0，得182k2(y0-kx0)2-4(4+9k2)•9[(y0-kx0)2-4]=0，
化简，9k2(y0-kx0)2-(4+9k2)(y0-kx0)2+(4+9k2)4=0，
进而  (y0-kx0)2-(4+9k2)=0，
所以(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0…（7分）
所以k是方程(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0的一个根，
同理-

1

k

是方程(

x

2 0

-9)k2-2x0y0k+

y

2 0

-4=0的另一个根，
∴k•（-

1

k

）=

y 2 0 -4

x 2 0 -9

，得

x

2 0

+

y

2 0

=13，其中x₀≠±3，…（9分）
②当l₁与x轴垂直或平行时，l₂与x轴平行或垂直，
可知：P点坐标为：（±3，±2），
∵P点坐标也满足

x

2 0

+

y

2 0

=13，
综上所述，点P的轨迹方程为：

x

2 0

+

y

2 0

=13．…（10分）
（3）动点Q的轨迹方程是

x

2 0

+

y

2 0

=a2+b2…（12分）

点评：本题考查的知识点是轨迹方程，类比推理，向量数量积运算，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．