Question

12．函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+2}}}+\sqrt{{x^2}+2}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），则函数y=t+$\frac{1}{t}$，求出导数，判断单调性，即可得到最小值．

解答 解：令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），
则函数y=t+$\frac{1}{t}$，
导数y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
由t²≥2，0＜$\frac{1}{{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
即有y′＞0，
函数y在[$\sqrt{2}$，+∞）递增，
可得t=$\sqrt{2}$，即x=0时，函数取得最小值，且为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法，由导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．