Question

20．已知sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）是关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0（m∈R）的两根．求：
（1）$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；
（2）m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理可得sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$．再根据sin²θ+cos²θ=1，求得得sinθ和cosθ 的值，可得 $\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$ 的值．
（2）由（1）结合m=2sinθcosθ，计算可求得结果．

解答 解：（1）根据sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）是关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0（m∈R）的两根，
可得sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$．
再根据sin²θ+cos²θ=1，可得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$；或sinθ=$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{{cos}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$=cosθ+sinθ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1）可得 m=2sinθcosθ=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查韦达定理、三角恒等变换，属于基础题．