题目内容

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，CC₁=2，则直线BC₁和平面DBB₁D₁所成角的正弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．
解答：

解：由题意，连接A₁C₁，交B₁D₁于点O
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4
∴C₁O⊥B₁D₁
∴C₁O⊥平面DBB₁D₁
在Rt△BOC₁中， $\text{[math]}$
∴直线BC₁和平面DBB₁D₁所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．

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