Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短轴顶点在圆x²+y²=4上．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）已知点P（-2，3），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试探究以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=2，根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，由此能求出椭圆G的方程．
方法二：设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b²+c²=8，由此能求出椭圆G的方程．
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程中，3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦点在x轴上，右焦点F（c，0），由题意可得：b=2，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，
所以，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；          …（4分）
方法二：设椭圆G的右焦点为F（c，0），
由题意可得：b=c，且b²+c²=8，∴b²=c²=4，
故a²=b²+c²=8，
所以，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下：
设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化简得：3x²+4mx+2m²-8=0，①…（5分）
因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，则△=16m²-12（2m²-8）＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，②
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$；③
于是AB的中点M（x₀，y₀）满足${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{2m}{3}，{y_0}={x_0}+m=\frac{m}{3}$；…（8分）
已知点P（-2，3），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，
则k_PM=-1，即$\frac{{{y_0}-3}}{{{x_0}+2}}=-1$，④，将M（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{m}{3}$） 代入④式，
得$m=-3∈（-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$满足②…（10分）
此时直线l的方程为y=m-3．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用，属于中档题．