Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意先证明，由面面垂直的性质定理得平面，再运用面面垂直的判定定理证明

（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的向量表示，然后运用空间向量知识求出异面直线所成角的余弦值

（3）结合(2)中的空间直角坐标系，运用向量知识结合二面角为求出结果

（1）证明：为的中点，

∴四边形为平行四边形，

即

又平面平面，且平面平面，

∴平面

∵平面， ∴平面平面

（2）解：为 的中点，

∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

如图，以 为原点建立空间直角坐标系，

则 ，

是 的中点，

设异面直线与所成角为 ，

则

∴异面直线与所成角的余弦值为．

（3）解：由（2）知平面的法向量为

由

得

又，

设平面 法向量为，

由可取

∵二面角为60°，，