Question

【题目】已知椭圆： 的一个焦点为，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率；

（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点， 关于原点对称，直线， 分别交轴于， 两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上和焦点坐标可得到方程；（2）先设， 根据题意得到， ，设以为直径的圆与轴交于点和,

所以，即，再由，即，故.

解析：

（Ⅰ）依题意， .

点在椭圆上．所以．

所以．

所以椭圆的方程为．

离心率．

（Ⅱ）因为， 两点关于原点对称，

所以可设， ，

所以．

直线： ．

当时， ，所以．

直线： ．

当时， ，所以．

设以为直径的圆与轴交于点和,（），

所以， ， ，

所以．

因为点在以为直径的圆上，

所以，即．

因为，即，

所以，所以．

所以， ．所以．

所以以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．