Question

11．已知sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，则$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$的值为-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 2sinαcosα=$\frac{3}{4}$，要要求的式子化为$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+2sinαcosα}$，可得结果．

解答 解：∵sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinα-cosα=$\frac{1}{2}$，平方可得 2sinαcosα=$\frac{3}{4}$，
则$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{（cosα-sinα）•（cosα+sinα）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα-cosα）}$=-$\sqrt{2}$（cosα+sinα）=-$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+2sinαcosα}$=-$\sqrt{2}$$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，属于基础题．