Question

1．设有两个命题：命题p：函数f（x）=-x²+ax+1在[1，+∞）上是单调减函数；命题q：已知函数f（x）=2x³-6x²在[a，a+1]上单调递减，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 第一步：分别求出p，q为真时a的取值范围；
第二步：由题设“p∧q为假命题，p∨q为真命题”推断p，q的真假性；
第三步：综合前面两步，由p，q的真假性即可求出a的取值范围．

解答 解：p为真命题?f′（x）=-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立?a≤2x在[1，+∞）上恒成立?a≤2，
q为真命题?f′（x）=6x²-12x≤0，即0≤x≤2在[a，a+1]上恒成立，$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$，解得0≤a≤1，
∵命题p∨q为真，p∧q为假，
∴p，q中必有一个为真，且另一个为假，
①当p为真，q为假时，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＜0或a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜0；
②当p为假，q为真时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{0≤a≤1}\end{array}\right.$，无解，
综上，a的取值范围为（-∞，0）．

点评 本题考查了参数的取值范围，用求导的方法来解决．对于这种涉及到两个命题的并、交的复合命题，要充分讨论，把各种情况考虑进去，最后通过求交集或者并集来求解．