Question

（本题满分13分）已知函数
（I）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（II）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数
的最小值是3若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（改编）（Ⅲ）当时，证明：．

Answer 1

解：（I）在上恒成立，
令，有 得  ………………3分
得                                      ………………4分
（II）假设存在实数，使， 有最小值3，
          ………………5分
①      当时，在上单调递减，
，（舍去），………………6分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件．………………7分
③      当时，在上单调递减，
，（舍去），………………8分
综上，存在实数，使得当时有最小值3．………………9分
（3）令，由（II）知．………………10分
令，，
当时，，在上单调递增 
∴    ………………12分
 即．………………13分

略