Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得，a₁=a₂，a₁+a₂=a₃
（Ⅱ）由S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，可得2S_n=S_n+1，=2，从而可得{S_n}为等比数列，进而可求
（Ⅲ）由（II）可得，S_n=（2^n-1）=2^n-2，b_n=n-2，从而可求c_n=+n2^n-2，令A=++…+，利用分组求和，令B=1•2^-1+2•2+3•2¹+4•2²+…+n2^n-2，利用错位相减可求，从而可求
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=a₂，a₁+a₂=a₃，∴2a₁=a₃=1，∴a₁=，a₂=．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，∴2S_n=S_n+1，=2，…（6分）
∴{S_n}是首项为，公比为2的等比数列．
∴S_n=2^n-1=2^n-2．…（8分）
（Ⅲ）S_n=（2^n-1）=2^n-2，b_n=n-2，b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，∴c_n•（n+1）（n+2）=1+n（n+1）（n+2）2^n-2，
即c_n=+n2^n-2．…（10分）
令A=++…+=-++…+
=-．…（12分）
令B=1•2^-1+2•2+3•2¹+4•2²+…+n2^n-2，①
2B=1•2+2•2¹+3•2²+…+（n-1）2^n-2+n2^n-1，②
②-①得
B=n2^n-1-2^-1-2-2¹-…-2^n-2=n2^n-1-=（n-1）2^n-1+，
∴c₁+c₂+…+c_n=-+（n-1）2^n-1+=（n-1）2^n-1+．…（14分）
点评：本题主要考查了利用递推公式求解数列的通项公式，还考查了裂项求和及错位相减求解数列的和，这也是数列求和的重要的两个方法．