题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为5
2
．
（1）求此时椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，
3
3
）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
（1）∵F1、F2、B1、B2四点共圆，
∴b=c，
∴a2=b2+c2=2b2，
设椭圆的方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1，N（0，3）
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得 b=-3±5
2
 （舍去），
②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，
∴所求的椭圆的方程为：
x2
32
+
y2
16
=1．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入
x2
32
+
y2
16
=1得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，
m2＜32k2+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-
1
k

设A（x1，y1）B（x2，y2），则xQ=
x1+x2
2
=-
2km
1+2k2
，yQ=kxQ+m=
m
1+2k2

∵KPQ=
m
1+2k2
+
3
3
-
2km
1+2k2
=-
1
k

解得m=
1+2k2
3
．③
由②、③得
(1+2k2)2
3
＜32k2+16
∴-
1
2
＜k2＜
47
2
，
∵k2＞0，
∴0＜k2＜
47
2

∴-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2

故当-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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