Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

3

2

，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△_PMN=

3

2

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为

3

2

，椭圆过定点P（2，1）及条件a²=b²+c²联立可求a²，b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系求出A的坐标，同理求出B的坐标，由两点式求出过AB直线的斜率，再设出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面积等于

3

2

就能求出截距，则直线AB的方程可求．

解答：解：（Ⅰ）由题意：

c2

a2

=

3

4

，∴c2=

3

4

a2，∴b2=a2-c2=a2-

3

4

a2=

1

4

a2①．
又∵P（2，1）在椭圆上，所以

4

a2

+

1

b2

=1②．
联立①②得：a²=8，b²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设直线PA的方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程得：x²+4[k（x-2）+1]²=8，
整理得：（1+4k²）x²-8（2k-1）x+16k²-16k-4=0．
∵方程一根为2，由根与系数关系得2xA=

16k2-16k-4

1+4k2

，∴xA=

8k2-8k-2

1+4k2

．
则yA=1+k(

8k2-8k-2

1+4k2

-2)=

-4k2-4k+1

1+4k2

．
∴A(

8k2-8k-2

1+4k2

，

-4k2-4k+1

1+4k2

)．
∵PA与PB倾斜角互补，∴k_PB=-k_PA=-k．
则B(

8k2+8k-2

1+4k2

，

-4k2+4k+1

1+4k2

)．
∴kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-4k2+4k+1 1+4k2 - -4k2-4k+1 1+4k2

8k2+8k-2 1+4k2 - 8k2-8k-2 1+4k2

=

1

2

．
设直线AB方程为y=

1

2

x+m，即x-2y+2m=0，
则M（-2m，0），N（0，m）（m＜0），
P到直线AB的距离为d=

|2m|

5

．
|MN|=

4m2+m2

=

5

|m|．
∴SPMN=

1

2

×

|2m|

5

×

5

|m|=

3

2

．解得m=-

6

2

，或m=

6

2

（舍）．
所以所求直线AB的方程为x-2y-

6

=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．