题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．
分析：（Ⅰ）由椭圆的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程
+
=1，消去y并整理一元二次方程，设直线AM的方程，求得与直线x=4的交点坐标P，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标Q，证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：（Ⅰ）解：由题意，a=2，
=
，∴c=1，∴b2=a2-c2=3
∴椭圆C的方程为：
+
=1；
（Ⅱ）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程
+
=1，消去y并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．
设直线l与椭圆C交点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
直线AM的方程为：y=
(x+2），它与直线x=4的交点坐标为P（4，
）
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，
）．
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
-
=
=
=0
∴P，Q两点的纵坐标相等．
综上可知，直线AM与直线BN的交点住直线x=5上．
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆C的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
设直线l与椭圆C交点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4(k2-3) |
| 3+4k2 |
直线AM的方程为：y=
| y1 |
| x1+2 |
| 6y1 |
| x1+2 |
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q（4，
| 2y2 |
| x2-2 |
下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
| 6y1 |
| x1+2 |
| 2y2 |
| x2-2 |
| 2k[2x1x2-5(x1+x2)+8] |
| (x1+2)(x2-2) |
2k[
| ||||
| (x1+2)(x2-2) |
∴P，Q两点的纵坐标相等．
综上可知，直线AM与直线BN的交点住直线x=5上．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．
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