Question

（12分）如图，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取BC的中点F，连结EF，AF,要证DE∥平面ABC，只要证DE∥AF，即只要证四边形ADEF是平行四边形即可；

（Ⅱ）分别以CA，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，根据题设写出相关点的坐标，并利用向量的坐标运算求出平面ECD和平面BCD的法向量，进而利用向的夹角公式求解.

试题解析：【解析】
（1）取BC的中点F，连结EF，

则EF∥PC∥DA，且EF=PC=DA=1，

则四边形ADEF是平行四边形，

即DE∥AF，

∵DE平面ABC，AF平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）∵DA⊥平面ABC，DA∥PC，

∴PC⊥平面ABC，

∵∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，

∴分别以CA，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，

则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），

则E（0，，1），则=（1，0，﹣1），=（1，2，1），

设=（x，y，z）是平面ECD的法向量，

，，

则，

令z=1，则x=﹣1，y=﹣2，则=（﹣1，﹣2，1），

设=（x，y，z）是平面BCD的法向量，

∵，，

∴，

令z=1，则x=﹣1，则=（﹣1，0，1），

∴cos＜＞=．

易知二面角E﹣CD﹣B为锐角，

故二面角E﹣CD﹣B的余弦值为．

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量法在解决立体几何问题中的应用.