Question

18．已知分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$．
（1）求f（-3），f[f（-3）]；
（2）求f（x）的定义域和值域并画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$将x=-3代入可得f（-3），f[f（-3）]；
（2）求出各段x的范围，可得函数的定义域，分类讨论求出各段函数的值域，求其并集，可得函数的值域，分段画出各段的图象可得答案；
（3）分段求解方程f（a）=$\frac{1}{2}$，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+5，x≤-1}\\{{x}^{2}，-1＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$．
∴f（-3）=2，f[f（-3）]=f（2）=4；
（2）f（x）的定义域为R，
当x≤-1时，f（x）=x+5∈（-∞，4]，
当-1＜x＜1时，f（x）=x²∈[0，1），
当x≥1时，f（x）=2x∈[2，+∞），
故f（x）的值域为：（-∞，4]∪[0，1）∪[2，+∞），
函数的图象如下图所示：

（3）当a≤-1时，由f（a）=a+5=$\frac{1}{2}$得：a=-4$\frac{1}{2}$，
当-1＜a＜1时，f（a）=a²=$\frac{1}{2}$得：a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当a≥1时，f（a）=2a=$\frac{1}{2}$得：a=$\frac{1}{4}$（舍去），
综上，若f（a）=$\frac{1}{2}$，则a=-4$\frac{1}{2}$，或a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的值，函数的定义域，值域，分段函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．