Question

6．已知函数f（x）满足以下条件：①f（x）=2f（x-2）；②当x∈[-1，1]时，f（x）=|x|-1．
（1）当x∈[-1，5]时，求函数y=f（x）+$\frac{1}{2}$的零点构成的集合；
（2）当x∈[-7，0]∪（0，7）时，利用图象法判断函数y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出当x∈[-1，5]时，函数f（x）的解析式，由函数y=f（x）+$\frac{1}{2}$=0，解方程即可；
（2）由y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|=0得f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，分别作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：（1）由y=f（x）+$\frac{1}{2}$=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$，
①当x∈[-1，1]时，由f（x）=|x|-1=-$\frac{1}{2}$得|x|=$\frac{1}{2}$．
则x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$，
②若1≤x≤3，则-1≤x-2≤1，
即f（x）=2f（x-2）=2（|x-2|-1）=2|x-2|-2，x∈[1，3]，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，得f（x）=2|x-2|-2=-$\frac{1}{2}$，即|x-2|=$\frac{3}{4}$，解得x=$\frac{5}{4}$或$\frac{11}{4}$．
③若3≤x≤5，则1≤x-2≤3，
即f（x）=2f（x-2）=2（2|x-4|-2）=4|x-4|-4，x∈[3，5]，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，得f（x）=4|x-4|-4=-$\frac{1}{2}$，即|x-4|=$\frac{7}{8}$，解得x=$\frac{25}{8}$或$\frac{39}{8}$．
即当x∈[-1，5]时，求函数y=f（x）+$\frac{1}{2}$的零点构成的集合为{$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$，$\frac{25}{8}$，$\frac{39}{8}$}．
（2）由y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|=0得f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，
根据条件作出函数f（x）在[-7，0]∪（0，7）上的图象如图，作出y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|，
由图象知，两个函数在[-7，0]∪（0，7）上的交点个数为7个，
故函数y=f（x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x|的零点个数为7个．

点评 本题主要考查函数零点和方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．