Question

6．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m²，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料．

Answer 1

分析 通过设面积为S，利用S=xy+$\frac{{x}^{2}}{4}$=4可知y=$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$，进而化简可知c=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{8}{x}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：设面积为S，则S=xy+$\frac{{x}^{2}}{4}$=4，y=$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$，
∴c=2x+2y+$\sqrt{2}$x
=（2+$\sqrt{2}$）x+2（$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$）
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{8}{x}$
≥2$\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{2}x•\frac{8}{x}}$=4$\sqrt{2}$+4，
当且仅当$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{8}{x}$即x=4$\sqrt{2}$-4、y=2时取等号，
于是当x=（4$\sqrt{2}$-4）米、y=2米时用料最省，为（4$\sqrt{2}$+4）米．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．