题目内容
设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则
= ．
【答案】分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．
解答：解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（
x2+
y2+
z2）≥（
ax+
by+
cz）2，
当且仅当
=
=
时等号成立
∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，
∴（a2+b2+c2）（
x2+
y2+
z2）≥（
ax+
by+
cz）2，中等号成立，
∴一定有：
=
=
，
∴
=
则
=
故答案为：
．
点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．
解答：解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（
x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当
==时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，
∴（a2+b2+c2）（
x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，中等号成立，∴一定有：
==，∴
=则
=故答案为：
．点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．
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