Question

（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则

a+b+c

x+y+z

=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．

解答：解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，
当且仅当

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

时等号成立
∵a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，
∴等号成立
∴

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

∴

a+b+c

x+y+z

=

1

2

故选C．

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．