Question

设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则

a+b+c

x+y+z

=

1

2

．

Answer 1

分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．

解答：解：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，
当且仅当

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

时等号成立
∵a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，
∴（a²+b²+c²）（

1

4

x²+

1

4

y²+

1

4

z²）≥（

1

2

ax+

1

2

by+

1

2

cz）²，中等号成立，
∴一定有：

a

1 2 x

=

b

1 2 y

=

c

1 2 z

，
∴

a

x

=

b

y

=

c

z

=

1

2

则

a+b+c

x+y+z

=

1

2

故答案为：

1

2

．

点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．