Question

19．设集合A=（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，B={x|x²≤log_a（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-a）}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 令f（x）=x²-log_a（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-a），从而可得0＜a＜1，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{2}}{4}•\frac{1}{3}-a＞0}\\{\frac{1}{2}≤lo{g}_{a}（\frac{3\sqrt{2}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{2}-a）}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：令f（x）=x²-log_a（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-a），
∵A∩B=A，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{4}$-a，$\frac{3}{4}$-a]∈（0，+∞），
∴0＜a＜1，
∴f（x）=x²-log_a（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-a）在其定义域上为增函数，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{2}}{4}•\frac{1}{3}-a≥0}\\{\frac{1}{2}≤lo{g}_{a}（\frac{3\sqrt{2}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{2}-a）}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用及不等式的解法与应用．