Question

（2006•东城区三模）已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，且a₁=1，S_n+1=4a_n+2，设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*）
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2，①得S_n+2=4a_n+1+2，②两式相减可得递推式，根据b_n=a_n+1-2a_n，可得到b_n+1，b_n的关系式，由等比数列的定义可证，并得通项公式；
（2）由（1）求得通项公式b_n，利用等比数列求和公式可得

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，根据和式可得结论；

解答：证明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，①∴S_n+2=4a_n+1+2，②
②-①得，a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）．
则a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）．
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n．
∵a₁=1，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，∴a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3．
∴b_n≠0（n∈N*），∴

bn+1

bn

=2(n∈N*)，
因此数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
∴b_n=b₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

= 1 3 + 1 3•2 + 1 3•22 +…+ 1 3•2n-1 = 1 3 • 1-( 1 2 )n 1- 1 2 = 2 3 [1-( 1 2 )n]

＜

2

3

．

点评：本题考查等比数列与不等式的综合，考查利用递推式求数列通项，考查学生分析问题解决问题的能力．