Question

【题目】卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面内的两个定点，|PF1||PF2|＝a2（a是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a＝c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

设，得到 ，得到，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.

由题意设P（x，y），则，

即[（x+c）2+y2][（x﹣c）2+y2]＝a4，

对于①中，因为把方程中的x被﹣x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；

把方程中的y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；

把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，

故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．

对于②中，若a＝c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的；

对于③中，因为（|PF1|+|PF2|）min＝2c，（当且仅当，|PF1|＝|PF2|＝c时取等号），

所以（|PF1||PF2|）min＝c2，所以若0＜a＜c，则曲线不存在，所以不正确．

故答案为：①②