Question

“α=

5

12

π”是“cos2α-sin2α=-

1

2

”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

Answer 1

分析：根据二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，对充分性和必要性分别加以论证，可得“α=

5

12

π”是“cos²α-sin²α=-

1

2

”的既不充分又不必要条件．

解答：解：充分性，
当α=

5

12

π时，cos²α-sin²α=cos2α=cos

5π

6

=-

3

2

，
此时“cos2α-sin2α=-

1

2

”不成立，故充分性不成立；
必要性，
当“cos2α-sin2α=-

1

2

”成立时，
得cos2α=-

1

2

，所以2α=

2π

3

+2kπ或

4π

3

+2kπ，（k∈Z）
解得α=

π

3

+2kπ或

2π

3

+kπ，（k∈Z）
不能得到α=

5

12

π，故必要性不成立
故选：D

点评：本题给出角α的一个值和α满足的一个三角等式，求两个条件间的充要关系，着重考查了特殊角的三角函数值和二倍角的三角公式等知识，属于基础题．