Question

1．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F₁，F₂，上、下顶点分别为A，B，其离心率e=$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上的一个动点，当点P与点A重合时，△PF₁F₂的内切圆面积为$\frac{4π}{3}$．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）当点P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP，BP分别交x轴于两点M，N，证明：|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|为定值．

Answer 1

分析 （I）由当点P与点A重合时，△PF₁F₂的内切圆面积为$\frac{4π}{3}$．设内切圆的半径为r，则πr²=$\frac{4π}{3}$，解得r．利用$\frac{1}{2}r×（2a+2c）$=$\frac{1}{2}×2c×b$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）由（I）可得椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．可得A（0，2$\sqrt{3}$），B（0，-2$\sqrt{3}$），设P$（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$．（θ∈[0，2π））．则直线AP的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}sinθ-\sqrt{3}}{2cosθ}$x+2$\sqrt{3}$，可得M．同理可得B，即可证明|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|为定值．

解答 （I）解：∵当点P与点A重合时，△PF₁F₂的内切圆面积为$\frac{4π}{3}$．
设内切圆的半径为r，则πr²=$\frac{4π}{3}$，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{1}{2}r×（2a+2c）$=$\frac{1}{2}×2c×b$，化为：2（a+c）=$\sqrt{3}$bc，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2．
（II）证明：由（I）可得椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
∴A（0，2$\sqrt{3}$），B（0，-2$\sqrt{3}$），设P$（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$．（θ∈[0，2π），$θ≠\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）．
则直线AP的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}sinθ-\sqrt{3}}{2cosθ}$x+2$\sqrt{3}$，可得M$（\frac{4cosθ}{1-sinθ}，0）$.$（θ≠\frac{π}{2}）$
直线BP的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}sinθ+\sqrt{3}}{2cosθ}$x-2$\sqrt{3}$，可得N$（\frac{4cosθ}{sinθ+1}，0）$.$（θ≠\frac{3π}{2}）$．
∴|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|=$\frac{16co{s}^{2}θ}{1-si{n}^{2}θ}$=16为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的面积与三角形的面积计算公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．