题目内容
已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+
，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论．
| 1 | f(x) |
分析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决．对差的符号进行判断时要注意根据其形式选择判断的方式．
解答：解：在R上任取x1、x2，设x1＜x2，
∴f（x2）＞f（x1），
F(x2)-F(x2)=[f(x2)+
]-[f(x1)+
]
=[f(x2) -f(x1) ][1-
]
∵f（x）是R上的增函数，且f（5）=1，
∴当x＜5时0＜f（x）＜1，而当x＞5时f（x）＞1；
①若x1＜x2＜5，则0＜f（x1）＜f（x2）＜1，
∴1-
＜0，
∴F（x2）＜F（x1）；
②若x2＞x1＞5，则f（x2）＞f（x1）＞1，
∴f（x1）f（x2）＞1
∴1-
＞0
∴F（x2）＞F（x1）
综上，F（x）在（-∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数
∴f（x2）＞f（x1），
F(x2)-F(x2)=[f(x2)+
| 1 |
| f(x2) |
| 1 |
| f(x1) |
=[f(x2) -f(x1) ][1-
| 1 |
| f(x1) f(x2) |
∵f（x）是R上的增函数，且f（5）=1，
∴当x＜5时0＜f（x）＜1，而当x＞5时f（x）＞1；
①若x1＜x2＜5，则0＜f（x1）＜f（x2）＜1，
∴1-
| 1 |
| f(x1) f(x2) |
∴F（x2）＜F（x1）；
②若x2＞x1＞5，则f（x2）＞f（x1）＞1，
∴f（x1）f（x2）＞1
∴1-
| 1 |
| f(x1)f(x2) |
∴F（x2）＞F（x1）
综上，F（x）在（-∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数
点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查抽象函数单调性的证明，对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小，或
的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1=x2•
，x1=x2+x1-x2
| f(x 1) |
| f(x 2) |
| x1 |
| x2 |
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