题目内容

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.
分析:(1)任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1,1],且x1<x2,进而根据函数为奇函数推知f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2),让f(x1)+f(-x2)除以x1-x2再乘以x1-x2配出
f(a)+f(b)
a+b
的形式,进而判断出f(x1)-f(x2)与0的关系,进而证明出函数的单调性.
(2)根据函数f(x)在[-1,1]上是增函数知:
-1≤
1
x-1
≤1
0<
1
x-1
进而可解得x的范围.
(3)由(1)f(x)≤m2-2pm+1对任意x∈[-1,1]恒成立,只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1,1]恒成立,即m2-2pm≥0对p∈[-1,1]恒成立设g(p)=m2-2mp,则
g(-1)≥0
g(1)≥0
?
m2+2m≥0
m2-2m≥0
解之即得m的取值范围.
解答:解:(1)设-1≤x1<x2≤1
∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1).
又x1<x2,∴x2+(-x1)=x2-x1>0,由题设有
f(x2)+f(-x1)
x2+(-x1)
>0,
∴f(x2)+f(-x1)>0即f(x2)>f(x1)∴f(x)在[-1,1]上是增函数
(2)由(1)知:f(
1
x-1
)>0?f(0)<f(
1
x-1
)

?
-1≤
1
x-1
≤1
0<
1
x-1

?x>1
∴原不等式的解集为x>1.
(3)由(1)知f(x)≤m2-2pm+1对任意x∈[-1,1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1,1]恒成立,即m2-2pm≥0对p∈[-1,1]恒成立设g(p)=m2-2mp,则
g(-1)≥0
g(1)≥0
?
m2+2m≥0
m2-2m≥0
解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.
点评:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用、函数恒成立问题.在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义.
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