Question

如图，在正三棱柱中，已知，，是的中点，在棱上．

（I）求异面直线与所成角；

（II）若平面，求长；

（III）在棱上是否存在点，使得二面角的大小等于，若存在，求 的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

  解：方法1：（I）取中点，建立如图所示坐标系，

则，，

，，，设，

∴，，，

∵，∴异面直线与所成角是；

（II）设是面的法向量，则，得，

∵平面，∴，∴，即；

（III）∵是平面的法向量，                            

∴，即，解得，

                                                                                                          

∵点在棱上，∴，而，∴在棱上的点是不存在的．                      

方法2：（I）∵是的中点，∴面，                    

∴，异面直线与所成角是；             

（II）取中点，建立如图所示坐标系，

则，，

，，，设，

∴，，，

∵平面，∴存在唯一的使得，

∴，∴，即；                           

（III）设是面的法向量，则，得，

∵是平面的法向量，                               

∴，即，解得，

∵  点在棱上，∴，而，∴  在棱上的点是不存在的．