Question

15．如图：已知AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切与M，AD⊥CD于D，BC⊥CD于C，MN⊥AB于N，AD=3，BC=1．
（1）求证：M为CD的中点；
（2）计算MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OM，利用切线的性质可得：OM⊥CD，可得AD∥BC∥OM，再利用平行线分线段成比例定理即可证明．
（2）连接AM，MB，则AM⊥MB．由（1）利用梯形的中位线定理可得：OM=2，AB=2OM=4，设DM=MC=x，利用勾股定理解得x，可得△OMB是正三角形，即可得出．

解答 （1）证明：连接OM，∵直线CD与圆O相切于M，∴OM⊥CD，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC∥OM，
∴$\frac{AO}{OB}=\frac{DM}{MC}$，
∵O为AB的中点，∴M为CD的中点．
（2）解：连接AM，MB，则AM⊥MB．
由（1）知：$OM=\frac{1}{2}（AD+BC）=2$，
∴AB=2OM=4，
设DM=MC=x，则AM²=AD²+DM²=9+x²，BM²=BC²+MC²=1+x²，
∴9+x²+1+x²=16，解得x²=3，
∴$BM=\sqrt{{x^2}+1}=2$，在正△OMB中，$MN=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质、梯形的中位线定理、直角三角形与等边三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．