Question

如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-DEF的体积最大值为

1

64

a³；
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤二面角A′-DE-F大小的范围是[0，

π

2

]．
其中正确的命题是

 

（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：①由已知可得四边形ADEF是菱形，再利用菱形对角线的性质、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出；
②由三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，再利用体积计算公式即可得出；
④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，即可判断出．

解答： 解：①由已知可得四边形ADEF是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正确；
②由三角形中位线定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正确；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，
最大值为

1

3

×

1

4

×

3

4

a2×

3

4

a=

1

64

a3，③正确；
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在面ABC上的射影在线段AF上，∴④正确；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，∴⑤不正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题中考查了空间线面的位置关系，熟练掌握其判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题．