题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ ，所以，a=1．
所以， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，由f'（x）＞0解得 $\text{[math]}$ ；由f'（x）＜0解得 $\text{[math]}$ ．
所以，f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减．
所以，当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最小值， $\text{[math]}$ ．因为对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以， $\text{[math]}$ 即可．则 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ．
所以，a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）依题得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，所以 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．所以，b的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，
求出导数小于0的区间即为函数的减区间．
（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），
从而求得a的取值范围．
（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到 $\text{[math]}$ ，
解出实数b的取值范围．
点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．