Question

已知函数f（x）=px-

p

x

-2lnx、
（Ⅰ）若p=3，求曲f9想）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在x∈（0，3）存在极值，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把p=3代入f（x）中确定出解析式，求出f（1）确定出切点坐标和导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，要使函数在定义域内位增函数，即要导函数在定义域内恒大于0，由导函数的分子解出p大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，进而得到p的取值范围；
（Ⅲ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0得到一个方程，记作（*），设方程的左边为函数h（x），当p=0时求出方程（*）的解为0，显然函数无极值点；当p不为0时，讨论函数有一个极值和两个极值，列出不等式组，求出不等式组的解集即可得到p的取值范围．

解答：解：（I）当p=3时，函数f（x）=3x-

3

x

-2lnx，
f（1）=3-3-2ln1=0，f′（x）=3-

3

x2

-

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线的斜率为f′（1）=3-3-2=4，
∴f（x）在点（1，f（x））处得切线方程为y-0=4（x-1），即y=4x-4；
（Ⅱ）f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x

，（4分）
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，（5分）
即p≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，
设M（x）=

2x

x2+1

，（x＞0）（6分）
则M（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，（7分）
∴M（x）≤1，即M（x）_max=1，∴p≥1，
所以实数p的取值范围是[1，+∞）；（8分）
（Ⅲ）∵f′（x）=

px2-2x+p

x

，令f′（x）=0，即px²-2x+p=0（*）（9分）
设h（x）=px²-2x+p，x∈（0，3），
当p=0时，方程（*）的解为x=0，此时f（x）在x∈（0，3）无极值，所以p≠0；
当p≠0时，h（x）=px²-2x+p的对称轴方程为x=

1

p

，
①若f（x）在x∈（0，3）恰好有一个极值，
则

p＞0 h(x)=10p-6≤0

或

p＜0 h(x)=10p-6≥0

，解得：0＜p≤

3

5

，
此时f（x）在x∈（0，3）存在一个极大值；（11分）
②若f（x）在x∈（0，3）恰好两个极值，即h（x）=0在x∈（0，3）有两个不等实根
则

p＞0 △=4-4p2＞0 0＜ 1 p ＜3 h(3)＞0

或

p＜0 △=4-4p2＞0 0＜ 1 p ＜3 h(3)＞0

，解得：

3

5

＜p＜1，（13分）
∴0＜p＜1，
综上所述，当0＜p＜1时，y=f（x）在x∈（0，3）存在极值．（14分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握函数的单调性与导数的关系，掌握函数在某点取得极值的条件，是一道中档题．