Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC-1）=1．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a+c=

3 3

2

，b=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC-1）=1得：2cosAcosC（

sinAsinC

cosAcosC

-1）=1，
∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-

1

2

，
∴cosB=-cos（A+C）=

1

2

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

2

，
又a+c=

3 3

2

，b=

3

，
∴

27

4

-2ac-3=ac，即ac=

5

4

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

5

4

×

3

2

=

5 3

16

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．