Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使

|PF2|

|PF1|

=

a

c

，则该双曲线的离心率的取值范围是

（1，

2

+1）

．

Answer 1

分析：点P（x_o，y_o）在右支曲线上并注意到x_o≥a．利用使

|PF2|

|PF1|

=

a

c

，进而根据双曲线定义表示出|PF₁|和|PF₂|代入使

|PF2|

|PF1|

=

a

c

，求得e的范围．

解答：解：∵

|PF2|

|PF1|

=

a

c

，∴P在双曲线右支，
设P点的横坐标为x_o，注意到x_o≥a．
由双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
则有

ex0-a

a+ex0

=

a

c

，得x_o=

a(a+c)

ec-ea

≥a，
分子分母同时除以a，得：

a+c

e2-e

≥a，
∴

1+e

e2-e

≥1，
解得1＜e≤

2

+1
故答案为：（1，

2

+1]．

点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．