Question

是否存在α、β，α∈（-，），β∈（0，π）使等式sin（3π-α）=cos（-β），cos（-α）=-cos（π+β）同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．
解答：答：存在满足要求的α、β．
解：由条件得
①²+②²得sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=即cosα=．
∵α∈（-，），
∴α=或α=-．
将α=代入②得cosβ=．又β∈（0，π），
∴β=，代入①可知，符合．
将α=-代入②得β=，代入①可知，不符合．
综上可知α=，β=．
点评：本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．