Question

曲线C上任一点到定点（0，

1

8

）的距离等于它到定直线y=-

1

8

的距离．
（1）求曲线C的方程；
（2）经过P（1，2）作两条不与坐标轴垂直的直线l₁、l₂分别交曲线C于A、B两点，且l₁⊥l₂，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的定义可知：该曲线C是抛物线：x2=

1

2

y．
（2）把（1，2）代入抛物线方程满足方程，因此点P在抛物线上．设直线l₁：y-2=k（x-1）（k≠0），l₂：y-2=-

1

k

(x-1)，分别与抛物线的方程联立可得点A，B的坐标．设线段AB的中点M（x，y），利用中点坐标公式可得点M的轨迹为y=4x2+4x+

5

2

．可知此方程是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程化为(x+

1

2

)2=

1

4

(y-

3

2

)，此抛物线可看成是由抛物线x2=

1

4

y左移

1

2

个单位，上移

3

2

个单位得到的，即可得出定点和定直线．

解答：解：（1）由抛物线的定义可知：该曲线C是抛物线：x2=

1

2

y．
（2）把（1，2）代入抛物线方程满足方程，因此点P在抛物线上．
设直线l₁：y-2=k（x-1）（k≠0），l₂：y-2=-

1

k

(x-1)，由

y=kx+2-k y=2x2

，化为2x²-kx-2+k=0，
∴x_A=

k-2

2

，∴y_A=

(K-2)2

2

，即A(

k-2

2

，

(k-2)2

2

)．
同理可得B(

- 1 k -2

2

，

(- 1 k -2)2

2

)．
设线段AB的中点M（x，y）．则

2x= k-2 2 + - 1 k -2 2 2y= (k-2)2 2 + (- 1 k -2)2 2

，
化为

4x=k- 1 k -4 4y=k2+ 1 k2 -4(k- 1 k )+8

，消去k化为y=4x2+4x+

5

2

．
∴点M的轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．
将抛物线方程化为(x+

1

2

)2=

1

4

(y-

3

2

)，此抛物线可看成是由抛物线x2=

1

4

y左移

1

2

个单位，上移

3

2

个单位得到的，
而抛物线x2=

1

4

y的焦点为（0，

1

16

），准线为y=-

1

16

．
故所求的定点为(-

1

2

，

25

16

)，定直线方程为y=

23

16

．

点评：本题考查了相互垂直的直线与抛物线相交问题转化为方程联立、抛物线的定义、平移变换等基础知识与基本技能方法，属于难题．