Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（

2a

x2+1

）+m-1的图象与y=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（II）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据k≤

1

2

恒成立将a分离出来，a≥(-

1

2

x02+x0)max，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（III）p函数y=g（

2a

x2+1

）+m-1的图象与y=f（1+x²）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值．

解答：解：（I）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a

x

(x＞0)，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．
因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（Ⅱ）由题意可知k=F′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x0-

1

2

x

2 0

≤a对任意0＜x₀≤3恒成立，即(x0-

1

2

x

2 0

)max≤a，
令t=x0-

1

2

x

2 0

=-

1

2

(

x

2 0

-2x0)=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
则a≥

1

2

，即实数a的最小值为

1

2

．
（III）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1═

1

2

x2+m-

1

2

的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同交点，
即

1

2

x2+m-

1

2

=ln(x2+1)有四个不同的根，
亦即m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四个不同的根．
令G(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，
则G′(x)=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

．
当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表：

由表格知：G(0)=

1

2

，G(1)=G(-1)=ln2＞0．
又因为G(2)=G(-2)=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，当m∈(

1

2

，ln2)时，
方程m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四个不同的解．
∴当m∈(

1

2

，ln2)时，y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的图象与
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．