题目内容
19．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，-2），且$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$．（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{1}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$的值．
分析 首先利用向量垂直得到θ的三角函数关系式，求出tanθ，然后利用同角三角函数的基本关系式求值．
解答 解：（1）因为$\overrightarrow{a}$=（1，2sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，-2），且$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$．
所以cosθ-4sinθ=0，所以tanθ=$\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{1}{sin2θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{ta{n}^{2}θ+1}{2tanθ+1}$=$\frac{\frac{1}{16}+1}{2×\frac{1}{4}+1}$=$\frac{17}{24}$．
点评 本题考查了平面向量的运算以及同角三角函数的关系式运用；属于基础题．
练习册系列答案
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9．已知点P的柱坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$，5），点B的球坐标为（$\sqrt{6}$，$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（ ）
| A． | 点P（5，1，1），点B（$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$） | B． | 点P（1，1，5），点B（$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$） | ||
| C． | 点P（$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），点P（1，1，5） | D． | 点P（1，1，5），点B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$） |