Question

如图所示，已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，且|OB|=2|OA|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  10

  3

• B、

  10

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设左焦点为（-c，0），直线AB：y=x+c，求出双曲线的渐近线方程，联立直线方程求得交点A，B的坐标，再由
|OB|=2|OA|，运用两点的距离公式，结合离心率公式计算即可得到，注意a＜b．

解答： 解：设左焦点为（-c，0），直线AB：y=x+c，
双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，
由直线AB和渐近线方程可得交点A（

ac

-b-a

，

bc

b+a

），B（

ac

b-a

，

bc

b-a

）（a＜b），
由|OB|=2|OA|，可得|OB|²=4|OA|²，
即有（

ac

b-a

）²+（

bc

b-a

）²=4[（

ac

-b-a

）²+（

bc

b+a

）²]，
化简得4（b-a）²=（b+a）²，
即有3a²-10ab+3b²=0，
即有a=3b（舍去）或b=3a，
则c=

a2+b2

=

10

a，
e=

c

a

=

10

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查两直线的交点问题，考查运算能力，属于基础题和易错题．