Question

2．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 解：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（a，0，0），C（a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，a），
$\overrightarrow{PB}$=（a，0，-a），$\overrightarrow{PC}$=（a，2a，-a），$\overrightarrow{PD}$=（0，2a，-a），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=ax-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=ax+2ay-az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a{x}_{1}+2a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，由图形知θ为钝角，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．