Question

（本小题满分13分）设函数有两个极值点,且．

（1）求实数的取值范围；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对任意的,都有成立,求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减；（3）实数的取值范围为．

【解析】

试题分析：（1）求实数的取值范围，先确定函数的定义域为，然后求导数，令，由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，建立不等关系解之即可；（2）讨论函数的单调性，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间；（3）若对任意的,都有成立,求实数的取值范围，是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求的取值范围．

试题解析：（1）由可得．

令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,

解得． 4分

（2）由（1）可知,其中,故

①当时,,即在区间上单调递增；

②当时,,即在区间上单调递减；

③当时,,即在区间上单调递增． 8分

（3）由（2）可知在区间上的最小值为．

又由于,因此．又由

可得,从而．

设,其中,

则．

由知:,,故,故在上单调递增．

所以,．

所以,实数的取值范围为． 13分

考点：函数极值，函数单调性，恒成立问题．