题目内容
【题目】已知椭圆 
，离心率
，它的长轴长等于圆
的直径.
（1）求椭圆 
的方程；
（2）若过点
的直线
交椭圆
于
两点，是否存在定点
，使得以
为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）
；（2）定点
.
【解析】试题分析：（1）利用配方法得到圆的圆心和半径，由此得到
，结合
， 
可求得椭圆的方程.（2）先从特殊情况出发，过
作斜率为
和斜率不存在的直线，求出两个特殊圆，这两个圆的交点为
，猜想存在点
，设出直线
的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算
，所以
，即以
为直径的圆经过这个定点
.
试题解析：
(1) 圆方程
化为
，则圆的直径为
，由
得： 
，所以椭圆
的方程： 
.
(2)过点
作斜率为
和斜率不存在的直线
交椭圆
的两个交点为直径的圆分别为
和
，这两个圆的交点为
.所以猜想存在点
，使得以 
为直径的圆经过这个定点. 设直线 
的方程为
，与椭圆
，联立方程组得： 
，设交点
得， 
，则
，所以
，即以 
为直径的圆经过这个定点
.
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