Question

【题目】已知函数， .

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析：（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；

（2）由题意可得即为，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；

（3）原不等式等价于，整理得，设，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围．

试题解析：

（1）由，得.

由题意， ，所以.

（2）.

因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，

则即恒成立.

问题等价于函数，即在上为增函数，

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即实数的取值范围是.

（3）不等式等价于，整理得.

设，

由题意知，在上存在一点，使得.

.

因为，所以，令，得.

①当，即时， 在上单调递增.

只需，解得.

②当即时， 在处取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化为.

因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③当，即时， 在上单调递减，只需，解得.

综上所述，实数的取值范围是.