题目内容
【题目】如图，已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，过点
的直线l交椭圆于
两点，与x轴交于P点，点
关于
轴的对称点为
，直线
交轴于
点.
（1）求椭圆方程；
（2）求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）根据题意，由椭圆的长轴长可得a的值，结合椭圆的离心率公式可得c的值，结合椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；
（2）设直线PQ的方程为
，可得P的坐标，设
，
，则
，由两点式写出BC直线方程，得到Q点坐标为
直线
方程将直线与椭圆的方程联立，可得
，由根与系数的关系分析可得
，用k表示Q点坐标为
，化简即可得答案．
（1）由题意得
解得
所以椭圆方程为
（2）直线
方程为，则
的坐标为
设，，则，
直线方程为
，令
，得
的横坐标为
①
又
得，得
代入①得
得
∴
为常数4.
练习册系列答案
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
分组 | 频数 | 频率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 24 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．
