Question

已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）参考解析

试题分析：（1）由函数，求函数的导数，并计算即所求切线方程的斜率，又过点.即可求出结论.
（2）（ⅰ）由（1）得到的函数的导数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值点，即得到的值.
（ⅱ）需求证：点，，是三个不同的点，通过分类每两个点重合，利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.
（1），                                    2分
，又，                                  4分
所以曲线在处的切线方程为，
即．                                               5分
（2）（ⅰ）对于，定义域为．
当时，，，∴；
当时，；
当时，，，∴，                 8分
所以存在唯一的极值点，∴，则点为．                9分
（ⅱ）若，则，，
与条件不符，从而得．
同理可得．                                      10分
若，由，此方程无实数解，
从而得．                                       11分
由上可得点，，两两不重合．
又


从而，点，，可构成直角三角形．                   14分