题目内容
8．已知点A，B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到准线l的距离为2．（1）求抛物线C的方程；
（2）若点F与原点O分别在直线AB与直线AD上，探究：直线BD与x轴间的关系．
分析 （1）利用焦点F到准线l的距离为2，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）直线AB：x=my+1，与抛物线C：y2=4x联立可得y2-4my-4=0，证明B，D的纵坐标相等，即可得出结论．
解答 解：（1）∵焦点F到准线l的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：x=my+1．
与抛物线C：y2=4x联立可得y2-4my-4=0，∴y1y2=-4，
直线AO的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，令x=-1，则y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，即D（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
∴-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{4{y}_{1}}{4{x}_{1}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$=y2，
∴BD∥x轴．
点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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