Question

3．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，证明：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．可得a_n＞0，变形$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，利用基本不等式的性质即可证明；
（2）由（1）可得a_n$≤\frac{1}{3}$a_n+1．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$．可得当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$（\frac{1}{3}）^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•（\frac{1}{3}）^{n-1}$．即可证明．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．
∴a_n＞0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1≥$2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$+1=3，当且仅当a_n=1时取等号，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3．
（2）由（1）可得a_n$≤\frac{1}{3}$a_n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$（\frac{1}{3}）^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴S_n≤2$[1+\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n-1}]$=2×$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=3．
∵a_n≠1，
∴S_n＜3．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．