Question

15．设x，y，z，w∈R，且满足x²+y²+z²+w²=1，则P=xy+2yz+zw的最大值是$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 运用待定系数法，可设（x²+ky²）+[（1-k）y²+（1-l）z²]+（lz²+w²）=1，0＜k，l＜1．由重要不等式可得1≥2$\sqrt{k}$xy+2$\sqrt{（1-k）（1-l）}$yz+2$\sqrt{l}$yz，当2$\sqrt{k}$：2$\sqrt{（1-k）（1-l）}$：2$\sqrt{l}$=1：2：1，求得k，l，即可得到所求最大值．

解答 解：由x²+y²+z²+w²=1，
可设（x²+ky²）+[（1-k）y²+（1-l）z²]+（lz²+w²）=1，0＜k，l＜1．
由重要不等式可得1≥2$\sqrt{k}$xy+2$\sqrt{（1-k）（1-l）}$yz+2$\sqrt{l}$yz，
当2$\sqrt{k}$：2$\sqrt{（1-k）（1-l）}$：2$\sqrt{l}$=1：2：1时，P取得最大值．
即有k=l，且1-k=2$\sqrt{k}$，解得k=l=3-2$\sqrt{2}$，
则P=xy+2yz+zw≤$\frac{1}{2\sqrt{k}}$=$\frac{1}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
当且仅当x=（$\sqrt{2}$-1）y，y=z，w=（$\sqrt{2}$-1）z取得最大值$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查重要不等式的运用：求最值，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于中档题．