Question

如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足=t，=t，=t，t∈[0，1]．
（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出D，E，M三点的坐标，由三动点D，E，M满足=t，=t，转化成坐标表示，求出D，E的用参数表示的坐标．将斜率表示成参数t的函数，再用函数的单调性求出斜率的范围．
（2）方法一：由=t，利用向量相等的条件得出点M的坐标关于参数t的方程，消参得出点M的横纵坐标满足的方程，即动点M的轨迹方程．
方法二：与方法一原理一样是得到点M的坐标关于参数t的方程，只是其在找到坐标之间关系时没有用（I）的结论，而是全部用向量的方法，找到了点M的坐标与参数t的关系，此法较繁琐．
解答：解法一：如图，（Ⅰ）设D（x，y），E（x_E，y_E），M（x，y）．
由=t，=t，知（x_D-2，y_D-1）=t（-2，-2）．
∴同理．
∴k_DE===1-2t．
∵t∈[0，1]，∴k_DE∈[-1，1]．

（Ⅱ）∵=t
∴（x+2t-2，y+2t-1）=t（-2t+2t-2，2t-1+2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t²-2t）．
∴，
∴y=，即x²=4y．
∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．
即所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

解法二：（Ⅰ）同上．
（Ⅱ）如图，=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，
=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，
=+=+t=+t（-）=（1-t）+t
=（1-t²）+2（1-t）t+t²．
设M点的坐标为（x，y），由=（2，1），=（0，-1），=（-2，1）得

消去t得x²=4y，
∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．
故所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]
点评：考查向量相等的充要条件与求轨迹方程时先求参数方程的思路，此类题在消参数时应注意观察形式，找到一个消去参数的好的方法．在方法二中连续使用向量的三角形法则变形，一定要细心哟！